Question

9．如圖1，已知拋物線y=ax²-2ax-3與x軸交于A、B兩點，其頂點為C，過點A的直線交拋物線于另一點D（2，-3），且tan∠BAD=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連結(jié)CD，求證：AD⊥CD；
（3）如圖2，P是線段AD上的動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點E，求線段PE長度的最大值；
（4）點Q是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使以A，D，F(xiàn)，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點D作DM⊥x軸于M，根據(jù)點D的坐標求出DM、OM，再根據(jù)∠BAD的正切值求出AM，然后求出AO，從而得到點A的坐標，再代入拋物線表達式求出a，從而得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點C的坐標，再利用勾股定理列式求出AC、CD、AD，然后利用勾股定理逆定理證明即可；
（3）利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，再表示出PE，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解即可；
（4）設(shè)點F的坐標為（x，0），然后分①AD是平行四邊形的邊且FQ在x軸下方時，表示出點Q的坐標，然后代入拋物線解析式求解即可；FQ在x軸上方時，表示出點Q的坐標，再代入拋物線解析式求解；②AD是平行四邊形對角線時，根據(jù)平行四邊形對邊平行可得DQ∥x軸，然后根據(jù)點D的縱坐標求出點Q的坐標，再根據(jù)AF=DQ求出點F的坐標即可．

解答 （1）解：如圖，過點D作DM⊥x軸于M，
∵D（2，-3），
∴DM=3，OM=2，
∵tan∠BAD=1，
∴AM=DM=3，
∴AO=AM-OM=3-2=1，
∴點A的坐標為（-1，0），
將點A的坐標代入拋物線得，a+2a-3=0，
解得a=1，
所以，y=x²-2x-3；

（2）證明：∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點C（1，-4），
由勾股定理得，AD²=3²+3²=18，
CD²=（2-1）²+（-3+4）²=2，
AC²=（1+1）²+4²=20，
∵AD²+CD²=AC²=20，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，
∴AD⊥CD；

（3）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
將點A、D的坐標代入得，$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
所以，直線AD的解析式為y=-x-1，
所以，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵P是線段AD上的動點，
∴-1≤x≤2，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，線段PE長度的最大值是$\frac{9}{4}$；

（4）解：設(shè)點F的坐標為（x，0），
①AD是平行四邊形的邊且FQ在x軸下方時，點Q的坐標為（x+3，-3），
代入拋物線得，（x+3）²-2（x+3）-3=-3，
解得x₁=-3，x₂=-1（舍去），
所以，F(xiàn)（-3，0）；
FQ在x軸上方時，點Q的坐標為（x-3，3），
代入拋物線得，（x-3）²-2（x-3）-3=3，
整理得，x²-8x+9=0，
解得，x=4±$\sqrt{7}$，
所以，F(xiàn)（4+$\sqrt{7}$，0）或（4-$\sqrt{7}$，0）；
②AD是平行四邊形對角線時，∵A、F都在x軸上，
∴DQ∥x軸，
∴點Q的縱坐標為-3，
∴x²-2x-3=-3，
解得x₁=2，x₂=0，
∴DQ=2，
∴AF=2，
∵AO=1，
∴OF=2-1=1，
∴F（1，0），
綜上所述，x軸上存在點F（-3，0）或（4+$\sqrt{7}$，0）或（4-$\sqrt{7}$，0）或（1，0），使以A，D，F(xiàn)，Q為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理與勾股定理逆定理，二次函數(shù)的最值問題，平行四邊形的性質(zhì)，難點在于（4）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分情況討論．