Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過兩點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線的頂點為，將直線沿軸向下平移兩個單位得到直線，直線與拋物線的對稱軸交于點，求直線的解析式；

（3）在（2）的條件下，求到直線距離相等的點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=（2）y=x（3）M（，0）、A（0，2）、（0，-2）、（，0）

【解析】

試題（1）把坐標(biāo)代入拋物線解析式即可．
（2）先設(shè)出平移后的直線的解析式，然后根據(jù)（1）的拋物線的解析式求出點的坐標(biāo)，然后將點的坐標(biāo)代入直線中即可得出直線的解析式．
（3）本題關(guān)鍵是找出所求點的位置，根據(jù)此點到直線的距離都相等，因此這類點應(yīng)該有4個，均在的內(nèi)角平分線上（外有3個，三條角平分線的交點是一個），可據(jù)此來求此點的坐標(biāo)．

試題解析：(1)根據(jù)題意得

解得

所以拋物線的解析式為：

(2)由得拋物線的頂點坐標(biāo)為

依題意,可得 且直線過原點，

設(shè)直線的解析式為y=kx,則

解得

所以直線l的解析式為

(3)到直線OB、OC、BC距離相等的點有四個，如圖，

由勾股定理得OB=OC=BC=2，所以△OBC為等邊三角形.

易證x軸所在的直線平分∠BOC，y軸是△OBC的一個外角的平分線，

作∠BCO的平分線,交x軸于點,交y軸于點，

作△OBC的∠BCO相鄰?fù)饨堑慕瞧椒志�,交y軸于 點，

反向延長線交x軸于 點,可得點就是到直線OB、OC、BC距離相等的點.

可證均為等邊三角形，可求得：

① 所以點的坐標(biāo)為

②點與點A重合,所以點的坐標(biāo)為(0,2)，

③點 與點A關(guān)于x軸對稱,所以點的坐標(biāo)為(0,2)，

④設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為N，

且

所以點的坐標(biāo)為

綜合所述，到直線OB、OC、BC距離相等的點的坐標(biāo)分別為：