Question

19．已知關于x的二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點（-2，y₁），（-1，y₂），（1，0），且y₁＜0＜y₂，對于以下結論：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③對于自變量x的任意一個取值，都有$\frac{a}$x²+x≥-$\frac{4a}$；④在-2＜x＜-1中存在一個實數(shù)x₀，使得x₀=-$\frac{a+b}{a}$，其中結論錯誤的是②（只填寫序號）．

Answer 1

分析 ①正確．畫出函數(shù)圖象即可判斷．
②錯誤．由圖象可知，-$\frac{2a}$＞-$\frac{1}{2}$，推出b＞a，故b-a可以是正數(shù)，所以a+3b+2c=a+3b-2a-2b=b-a＞0，故錯誤．
③正確．利用函數(shù)y₁=$\frac{a}$x²+x=$\frac{a}$（x²+$\frac{a}$x）=$\frac{a}$（x+$\frac{2a}$）²-$\frac{4a}$，根據(jù)函數(shù)的最值問題即可解決．
④令y=0則ax²+bx-a-b=0，設它的兩個根為x₁，1，則x₁•1=$\frac{-a-b}{a}$=-$\frac{a+b}{a}$，求出x₁即可解決問題．

解答 解：由題意二次函數(shù)圖象如圖所示，

∴a＜0．b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①正確．
∵-$\frac{2a}$＞-$\frac{1}{2}$，
∵a＜0，
∴b＞a，
∴b-a＞0，
∵a+b+c=0，
∴c=-a-b，
∴a+3b+2c=a+3b-2a-2b=b-a＞0，
∴a+3b+2c≤0，故②錯誤．
∵函數(shù)y₁=$\frac{a}$x²+x=$\frac{a}$（x²+$\frac{a}$x）=$\frac{a}$（x+$\frac{2a}$）²-$\frac{4a}$，
∵$\frac{a}$＞0，
∴函數(shù)y₁有最小值-$\frac{4a}$，
∴$\frac{a}$x²+x≥-$\frac{4a}$，故③正確．
∵y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，0），
∴a+b+c=0，
∴c=-a-b，
令y=0則ax²+bx-a-b=0，設它的兩個根為x₁，1，
∵x₁•1=$\frac{-a-b}{a}$=-$\frac{a+b}{a}$，
∴x₁=-$\frac{a+b}{a}$，
∵-2＜x₁＜x₂，
∴在-2＜x＜-1中存在一個實數(shù)x₀，使得x₀=-$\frac{a+b}{a}$，故④正確，
故答案為②．

點評 本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，解題的關鍵是靈活應用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，學會構建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考填空題中的壓軸題．