Question

2．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，斜邊BC=20，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，M是BC上一點(diǎn)，BM=3，點(diǎn)N是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DN與ME相交于點(diǎn)O，若△OMN是直角三角形，則MN的長(zhǎng)是2或$\frac{49}{12}$．

Answer 1

分析 如圖作DN₁⊥BC于N₁交EM于O₁，作EH⊥BC于H．則四邊形DEHN₁是矩形．求出MN₁即可；作DN₂⊥EM交EM于O₂，交BC于N₂，此時(shí)△MN₂O₂是直角三角形，求出MN₂即可；

解答 解：如圖作DN₁⊥BC于N₁交EM于O₁，作EH⊥BC于H．則四邊形DEHN₁是矩形．
∵BC=20，AD=DB，AE=EC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=10，易知EH=CH=BN₁=DN₁=5，
∵BM=3，
∴MN₁=BN₁-BM=5-3=2，
∴當(dāng)MN₁=2時(shí)，△MN₁O₁是直角三角形．
作DN₂⊥EM交EM于O₂，交BC于N₂，此時(shí)△MN₂O₂是直角三角形，
∵△DN₁N₂∽△MHE，
∴$\frac{D{N}_{1}}{MH}$=$\frac{{N}_{1}{N}_{2}}{EH}$，
∴N₁N₂=$\frac{25}{12}$，
∴MN₂=2+$\frac{25}{12}$=$\frac{49}{12}$．
∴當(dāng)MN=2或$\frac{49}{12}$時(shí)，△MNO是直角三角形．
故答案為2或$\frac{49}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題．