Question

1．如圖，在△ABC中，按如下步驟作圖：
①以點A為圓心，AB長為半徑畫��；
②以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；
③連接BD，與AC交于點E，連接AD、CD；
（1）求證：∠BAE=∠DAE；
（2）當AB=BC時，猜想四邊形ABCD是什么四邊形，并證明你的結論；
（3）當AC=8cm，BD=6cm，現(xiàn)將四邊形ABCD通過割補，拼成一個正方形，那么這個正方形的邊長是多少？

Answer 1

分析 （1）由SSS證明△ABC≌△ADC，得出對應角相等即可；
（2）證出AB=BC=DC=AD，即可得出結論；
（3）由等腰三角形的性質得出AC⊥BD，求出四邊形ABCD的面積，即可得出拼成的正方形的邊長．

解答 （1）證明：在△ABC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{BC=DC}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAE=∠DAE；
（2）解：四邊形ABCD是菱形，理由如下：
∵AB=AD，BC=DC，AB=BC，
∴AB=BC=DC=AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
（3）解：∵AB=AD，∠BAE=∠DAE，
∴AC⊥BD，
∴四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$AC•BD=8×6=24（cm²），
∴拼成的正方形的邊長=$\sqrt{24}$=2$\sqrt{6}$（cm）．

點評 本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、菱形的判定、等腰三角形的性質；熟練掌握菱形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關鍵．