Question

4．如圖，在正方形ABCD中，AB=6，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿著射線CD方向以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿著射線AB方向以2個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），連接MN交AD于點(diǎn)E，連接CE、CN．
（1）當(dāng)t=2秒時(shí)，MN∥BD；
（2）設(shè)△CEN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△CEN為等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）連接BD，由四邊形ABCD是正方形，得到∠A=90°，∠ABD=45°，根據(jù)題意得到DM=t，AN=2t，BN=6-2t，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)勾股定理得到CE=$\sqrt{{t}^{2}+36}$，EN=$\sqrt{4{t}^{2}+（6-t）^{2}}$，CN=$\sqrt{36+（6-2t）^{2}}$，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接BD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，∠ABD=45°，
∵DM=t，AN=2t，
∴BN=6-2t，
∵M(jìn)N∥BD，
∴∠ANE=45°，
∴∠AEN=∠DEM=45°，
∴DE=DM=t，AE=6-t，
∵AN=AE，
∴6-t=2t，
∴t=2，
∴當(dāng)t=2秒時(shí)，MN∥BD；
故答案為：2；

（2）∵CD∥AB，
∴△DME∽△ANE，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{DM}{AN}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=2，AE=4，
∵S_△CEN=S_{正方形ABCD}-S_△CDE-_△AEN-S_△CBN=6×6-$\frac{1}{2}×$6×2-$\frac{1}{2}$×2t×4-$\frac{1}{2}$（6-2t）×6，
∴S=2t+12；

（3）∵CE=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，EN=$\sqrt{16+4{t}^{2}}$，CN=$\sqrt{36+（6-2t）^{2}}$，
∵△CEN為等腰三角形，
∴①當(dāng)CE=EN時(shí)，即2$\sqrt{10}$=$\sqrt{16+4{t}^{2}}$，
∴t=$\sqrt{6}$（負(fù)值舍去），
②當(dāng)CE=CN時(shí)，即2$\sqrt{10}$=$\sqrt{36+（6-2t）^{2}}$，
解得：t=2，t=4（舍去），
③當(dāng)EN=CN時(shí)，即$\sqrt{16+4{t}^{2}}$=$\sqrt{36+（6-2t）^{2}}$，
解得：t=$\frac{7}{3}$，
∴當(dāng)t為$\sqrt{6}$或2或$\frac{7}{3}$時(shí)，△CEN為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．