Question

11．正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…按如圖所示的方式放置，點A₁、A₂、A₃和點C₁、C₂、C₃、…分別在直線y=kx+b（k＞0）和x軸上，已知點B₁（1，1），B₂（3，2），則B₄的坐標是（15，8），B₂₀₁₅的坐標是（2²⁰¹⁵-1，2²⁰¹⁴）．

Answer 1

分析 由圖和條件可知A₁（0，1）A₂（1，2）A₃（3，4），由此可以求出直線為y=x+1，Bn的橫坐標為A_n+1的橫坐標，縱坐標為An的縱坐標，又A_n的橫坐標數(shù)列為An=2^n-1-1，所以縱坐標為（2^n-1），然后就可以求出Bn的坐標為[A（n+1）的橫坐標，An的縱坐標，最后根據(jù)規(guī)律就可以求出B₄和B₂₀₁₅的坐標．

解答 解：∵點B₁（1，1），B₂（3，2），
∴A₁（0，1）A₂（1，2）A₃（3，4），
∴直線y=kx+b（k＞0）為y=x+1，
∴Bn的橫坐標為A_n+1的橫坐標，縱坐標為An的縱坐標
又A_n的橫坐標數(shù)列為An=2^n-1-1，所以縱坐標為2^n-1，
∴Bn的坐標為[A（n+1）的橫坐標，An的縱坐標]=（2ⁿ-1，2^n-1）．
所以B₄的坐標是（2⁴-1，2³），即（15，8）．
B₂₀₁₅的坐標（2²⁰¹⁵-1，2²⁰¹⁴），
故答案為：（15，8），（2²⁰¹⁵-1，2²⁰¹⁴）．

點評 此題考查正方形的性質，解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結論．