Question

17．如圖，在△ABC中，∠A=30°，D為邊AB上的點，且DA=DC=2，若△DCB繞點D逆時針旋轉，使DB、DC分別與線段AC相交于M、N，則當△DMN為等邊三角形時，DM的長值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 作出圖形，過點D作DE⊥AC于E，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得DE=$\frac{1}{2}$AD，再根據(jù)等邊三角形的性質求解即可．

解答 解：如圖，過點D作DE⊥AC于E，
∵∠A=30°，DA=DC=2，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵△DMN為等邊三角形，
∴DM=DE÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了旋轉的性質，主要利用了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半以及等邊三角形的性質，作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．