Question

已知拋物線：y1=-

1

2

x2+2x
（1）求拋物線y₁的頂點坐標．
（2）將拋物線y₁向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到拋物線y₂，求拋物線y₂的解析式．
（3）如圖，拋物線y₂的頂點為P，x軸上有一動點M，在y₁、y₂這兩條拋物線上是否存在點N，使O（原點）、P、M、N四點構(gòu)成以OP為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用配方法求出拋物線y₁的頂點坐標即可；
（2）直接利用二次函數(shù)平移的規(guī)律，左加右減，上加下減，解答即可；
（3）假設符合條件的N點存在，利用平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等，找出點N到x軸的距離，即拋物線的縱坐標，代入解析式，解方程解決問題．

解答：解：（1）依題意把拋物線：
y₁=-

1

2

x²+2x
=-

1

2

（x²-4x）
=-

1

2

[（x-2）²-4]
=-

1

2

（x-2）²+2，
故拋物線y₁的頂點坐標為：（2，2）；

（2）∵拋物線y₁向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到y(tǒng)₂=-

1

2

（x-4）²+3，
整理得y₂=-

1

2

x²+4x-5；

（3）符合條件的N點存在．
如圖：作PA⊥x軸于點A，NB⊥x軸于點B，
∴∠PAO=∠MBN=90°，
若四邊形OPMN為符合條件的平行四邊形，則OP∥MN，且OP=MN，
∴∠POA=∠BMN，
在△POA和△NMB中

∠PAO=∠NBM ∠AOP=∠BMN OP=MN

∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN，
∵點P的坐標為（4，3），
∴NB=PA=3，
∵點N在拋物線y₁、y₂上，且P點為y₁、y₂的最高點
∴符合條件的N點只能在x軸下方，
①點N在拋物線y₁上，則有：-

1

2

x²+2x=-3
解得：x₁=2-

10

，x₂=2+

10

，
②點N在拋物線y₂上，則有：-

1

2

（x-4）²+3=-3
解得：x₃=4-2

3

或x₄=4+2

3

故符合條件的N點有四個：N₁（2-

10

，-3），N₂（4-2

3

，-3），N₃（2+

10

，-3），N₄（4+2

3

，-3）．

點評：此題考查了利用平移的規(guī)律求二次函數(shù)頂點式解析式，利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等與性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征解決問題．