Question

18．如圖，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，按A→B→C的方向在AB和BC上移動(dòng)，記PA=x，點(diǎn)D到直線PA的距離為y，且y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致如圖：
（1）a=3，b=4；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)△PCD的面積是△ABP的面積的$\frac{1}{3}$時(shí)，求y的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的圖象，即可得出a、b的值；
（2）分點(diǎn)P在線段AB上跟點(diǎn)P在線段BC上討論，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得出y與x之間的關(guān)系；
（3）由等高三角形的面積比等于底邊長(zhǎng)之比，可得出BP的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得出x的值，代入到（2）中的關(guān)系式中即可求出y的值．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，D到AB的距離為AD，
由函數(shù)圖象可看出，AD=4，即BC=b=4，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BC上時(shí)，D到AB的距離出現(xiàn)變化，
由函數(shù)圖象可看出，AB=3=a．
故答案為：3；4．
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，有0≤AP≤AB，即0≤x≤3，
此時(shí)y=4．
②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，連接AC，過點(diǎn)D作DE⊥AP于點(diǎn)E，如圖，

由勾股定理可得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
∵此時(shí)P點(diǎn)過B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，
∴AB＜AP≤AC，即3＜x≤5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠APB，
又∵∠ABP=∠DEA=90°，
∴△DAE∽△APB，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{AD}{AP}$，即$\frac{y}{3}$=$\frac{4}{x}$，
∴y=$\frac{12}{x}$．
綜合①②得：y=$\left\{\begin{array}{l}{4（0≤x≤3）}\\{\frac{12}{x}（3＜x≤5）}\end{array}\right.$．
（3）∵△PCD的面積是△ABP的面積的$\frac{1}{3}$，且兩三角形等高，
∴BP=3PC，
∵BP+PC=BC=4，
∴BP=3，
由勾股定理可得：x=$\sqrt{A{P}^{2}+B{P}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
將x=3$\sqrt{2}$代入，得y=$\frac{12}{3\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故當(dāng)△PCD的面積是△ABP的面積的$\frac{1}{3}$時(shí)，y的值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、相似三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）能看懂函數(shù)圖象并結(jié)合題意找出a、b的值；（2）分P點(diǎn)在線段AB和BC上討論，借助到了相似三角形的判定及性質(zhì)；（3）根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊長(zhǎng)之比，得出BP的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得出x的值．