Question

13．（1）如圖（1），在四邊形ABCD中，AB∥CD，如果延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使CE=AB，連接AE，那么有S_{四邊形ABCD=}S_△ADE，作DE邊中點(diǎn)P，連接AP，則AP所在直線為四邊形ABCD的面積等分線，你能說明理由嗎？
（2）如圖（2），如果四邊形ABCD中，AB與CD不平行，且S_△ADC＞S_△ABC，過點(diǎn)A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請(qǐng)畫出面積等分線，并簡(jiǎn)單說明作圖過程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)BE∥AC得S_△ACE=S_△ACB，所以S_△AED=S_梯形ABCD，再根據(jù)中線性質(zhì)即可解決．
（2）證明類似（1）．

解答 解：（1）如圖1中，∵AB∥EC，AB=EC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴BE∥AC，
∴S_△ACE=S_△ACB，
∵S_梯形ABCD=S_△ACB+S_△ACD，S_△AED=S_△ACE+S_△ACD，
∴S_△AED=S_梯形ABCD，
∴S_△AED=S_梯形ABCD，
∵S_梯形ABCD=S_△ACB+S_△ACD，S_△AED=S_△ACE+S_△ACD，
∴S_△AED=S_梯形ABCD，
∵PE=PD，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$S_△AED=$\frac{1}{2}$S_梯形ABCD，
∴直線AP平分梯形ABCD的面積．
（2）如圖2中，作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線于E，連接AE，取DE中點(diǎn)，直線AP就是所求，理由如下：
∵BE∥AC，
∴S_△ACE=S_△ACB，
∵S_梯形ABCD=S_△ACB+S_△ACD，S_△AED=S_△ACE+S_△ACD，
∴S_△AED=S_梯形ABCD，
∵PE=PD，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$S_△AED=${\frac{1}{2}S}_{梯形ABCD}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形的面積、三角形的中線的性質(zhì)、以及同底等高的兩個(gè)三角形面積等知識(shí)，把梯形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積是解題的關(guān)鍵．