Question

2．模型建立：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．易證：△BEC≌△CDA

模型應(yīng)用：如圖2，已知直線l₁：y=$\frac{4}{3}$x+4與y軸交與A點(diǎn)，將直線l₁繞著A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至l₂．
（1）在直線l₂上求點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形；
（2）求l₂的函數(shù)解析式；
（3）在直線l₁、l₂分別存在點(diǎn)P、Q，使得點(diǎn)A、O、P、Q四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)B作BC⊥AB于點(diǎn)B，交l₂于點(diǎn)C，過C作CD⊥x軸于D，根據(jù)∠BAC=45°可知△ABC為等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線l₂的函數(shù)解析式即可；
（3）設(shè)Q₁的橫坐標(biāo)為x，則Q₁（x，$\frac{1}{7}$x+4），P（x，$\frac{4}{3}$x+4），先求得OA的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出$\frac{1}{7}$x+4-（$\frac{4}{3}$x+4）=4，求得x=-$\frac{84}{25}$，從而求得Q₁的坐標(biāo)，根據(jù)AQ₁=OP=AQ₂，求得Q₂的橫坐標(biāo)為$\frac{84}{25}$，即可求得Q₂（$\frac{84}{25}$，$\frac{112}{25}$）．

解答 （1）解：過點(diǎn)B作BC⊥AB于點(diǎn)B，交l₂于點(diǎn)C，過C作CD⊥x軸于D，如圖1，
∵∠BAC=45°，
∴△ABC為等腰Rt△，
∵△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直線l₁：y=$\frac{4}{3}$x+4，
∴A（0，4），B（-3，0），
∴BD=AO=4．CD=OB=3，
∴OD=4+3=7，
∴C（-7，3）；

（2）設(shè)l₂的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（0，4），C（-7，3）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-7k+b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{7}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴l(xiāng)₂的解析式：y=$\frac{1}{7}$x+4；

（3）如圖2，①當(dāng)AO為邊時(shí)，
∵A（0，4），
∴OA=4，設(shè)Q₁的橫坐標(biāo)為x，
則Q₁（x，$\frac{1}{7}$x+4），P（x，$\frac{4}{3}$x+4），
∵四邊形AOPQ是平行四邊形，
∴PQ₁=OA=4，
即$\frac{1}{7}$x+4-（$\frac{4}{3}$x+4）=4，或$\frac{4}{3}$x+4-（$\frac{1}{7}$x+4）=4，
解得x=-$\frac{84}{25}$或$\frac{84}{25}$
∴Q₁（-$\frac{84}{25}$，$\frac{88}{25}$）或（$\frac{84}{25}$，$\frac{112}{25}$）．
②當(dāng)AO為對(duì)角線時(shí)，作OQ₂∥AB，
直線OQ₂解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=\frac{1}{7}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{84}{25}}\\{y=\frac{112}{25}}\end{array}\right.$，
∴Q₂（$\frac{84}{25}$，$\frac{112}{25}$）．
綜上，存在符合條件的平行四邊形，且Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{84}{25}$，$\frac{88}{25}$）或（$\frac{84}{25}$，$\frac{112}{25}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到點(diǎn)的坐標(biāo)、平行四邊形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰直角三角形以及全等三角形等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用，需要考慮的情況較多，難度較大．