Question

7．如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，E、F、G、H分別是邊AB、CD、BC、AD上的點(diǎn)，且EF⊥GH，EF、GH相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①AE=BG；②∠BEO=∠CGO；③OE=OH；④S_{正方形ABCD}≠4S_{四邊形AEOH}中正確的有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 連接OA、OB、OC、OD，由點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，得出∠AOB=90°，∠OAE=∠OBG=45°，OA=OB=OC=OD，由ASA證明△AOE≌△BOG，得出對(duì)應(yīng)邊相等AE=BG，得出①正確；
同理：△OBE≌△OCG，得出∠BEO=∠CGO，②正確；
同理：△AOH≌△BOE，得出OE=OH，③正確；
由四邊形AEOH的面積=四邊形BGOE的面積=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面積，得出正方形ABCD的面積=4四邊形AEOH的面積，得出④不正確．

解答 解：連接OA、OB、OC、OD，如圖所示：
∵點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，
∴∠AOB=90°，∠OAE=∠OBG=45°，OA=OB=OC=OD，
∵EF⊥GH，
∴∠EOG=90°，
∴∠AOE=∠BOG，
在△AOE和△BOG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OBG}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\\{∠AOE=∠BOG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOG（ASA），
∴AE=BG，①正確；
同理：△OBE≌△OCG，
∴∠BEO=∠CGO，②正確；
同理：△AOH≌△BOE，
∴OE=OH，③正確；
∴四邊形AEOH的面積=四邊形BGOE的面積=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面積，
∴正方形ABCD的面積=4四邊形AEOH的面積，
∴④不正確；
正確的有3個(gè)．故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．