Question

5．如圖，在?ABCD中，E為BC邊上的一點，將△ABE沿AE翻折得到△AFE，點F恰好落在線段DE上．
（1）求證：∠FAD=∠CDE；
（2）當(dāng)AB=5，AD=6，且tan∠ABC=2時，求線段EC的長．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)得出∠B=∠ADC，∠B=∠AFE，得出∠AFE=∠ADC，即可得出結(jié)論；
（2）過點D作DG⊥BE，交BE的延長線于點G．由平行四邊形的性質(zhì)得出∠2=∠B，∠3=∠EAD，由翻折的性質(zhì)得出∠B=∠AFE，∠3=∠4，得出∠4=∠EAD．得出ED=AD=6，由三角函數(shù)得出DG=2CG，根據(jù)勾股定理得出DG²+CG²=CD²，求出CG、DG，再根據(jù)勾股定理求出EG，即可得出EC．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠ADC，
∵將△BAE沿AE翻折得到△FAE，點F恰好落在線段DE上，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠B=∠AFE，
∴∠AFE=∠ADC，
∵∠FAD=∠AFE-∠1，∠CDE=∠ADC-∠1，
∴∠FAD=∠CDE；
（2）過點D作DG⊥BE，交BE的延長線于點G．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB=5，
∴∠2=∠B，∠3=∠EAD，
由（1）可知，△ABE≌△AFE，
∴∠B=∠AFE，∠3=∠4，
∴∠4=∠EAD，
∴ED=AD=6，
在Rt△CDG中，tan∠2=tan∠ABC=$\frac{DG}{CG}$=2，
∴DG=2CG，
∵DG²+CG²=CD²，
∴（2CG）²+CG²=5²，
∴CG=$\sqrt{5}$，DG=2$\sqrt{5}$，
在Rt△EDG中，
∵EG²+DG²=DE²，
∴EG=4，
∴EC=4-$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換、勾股定理；熟練掌握平行四邊形和翻折變換的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．