Question

12．如圖，直線(xiàn)y=4-x與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B點(diǎn)，點(diǎn)M是線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），過(guò)M分別作MC⊥OA于點(diǎn)C，MD⊥OB于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OCMD的周長(zhǎng)為8；
（2）當(dāng)四邊形OCMD為正方形時(shí)，將正方形OCMD沿著x軸的正方向移動(dòng)，設(shè)平移的距離為a （0＜a≤4），在平移過(guò)程中：
①當(dāng)平移距離a=1時(shí)，正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為$\frac{7}{2}$；
②當(dāng)平移距離a是多少時(shí)，正方形OCMD的面積被直線(xiàn)AB分成l：3兩個(gè)部分？

Answer 1

分析 （1）設(shè)OC=x，則CM=4-x．然后依據(jù)由三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，可證明四邊形OCMD為矩形，則OCMN的周長(zhǎng)=2（CO+CM）；
（2）①利用面積之差即可得出結(jié)論；
②當(dāng)四邊形為OCMD為正方形時(shí)，先求得正方形的邊長(zhǎng)，從而可求得正方形的面積，可求得正方形被直線(xiàn)分成的較小的部分的面積為1，然后再證明“較小的部分”為等腰直角三角形，從而可求得該等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)度，于是可求得平移的距離．

解答 解：（1）設(shè)OC=x，則CM=4-x．
∵M(jìn)C⊥OA，MD⊥OB，OD⊥OC，
∴四邊形OCMD為矩形，
∴四邊形OCMD的周長(zhǎng)=OD+OC+CM+DM=2（CO+CM）=2（x+4-x）=2×4=8．
故答案為：8．

（2）①如圖，

∵直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+4，
∴移動(dòng)過(guò)程中正方形被分割出的三角形式等腰直角三角形，
當(dāng)四邊形OCMD為正方形時(shí)，4-x=x，
解得x=2，
所以，正方形的面積為：2²=4，
當(dāng)a=1時(shí)，EM=1，
∴S_△MEF=$\frac{1}{2}$EM²=$\frac{1}{2}$，
∴正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$；
故答案為$\frac{7}{2}$；

②∵當(dāng)四邊形為OCMD為正方形時(shí)，OC=CM，即x=4-x，解得：x=2，
∴S_{正方形OCMD的面積}=4．
∵正方形OCMD的面積被直線(xiàn)AB分成1：3兩個(gè)部分，
∴兩部分的面積分別為1和3．
當(dāng)0＜a≤2時(shí)，如圖1所示：

∵直線(xiàn)AB的解析式為y=4-x，
∴∠BAO=45°．
∴△MM′E為等腰直角三角形．
∴MM′=M′E．
∴$\frac{1}{2}$MM′²=1．
∴MM′=$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，
當(dāng)2＜a＜4時(shí)，如圖2所示：

∵∠BAO=45°，
∴△EO′A為等腰直角三角形．
∴EO′=O′A．
∴$\frac{1}{2}$O′A²=1，解得：O′A=$\sqrt{2}$．
∵將y=0代入y=4-x得；4-x=0，解得；x=4，
∴OA=4．
∴OO′=4-$\sqrt{2}$，即a=4-$\sqrt{2}$．
綜上所述，當(dāng)平移的距離為a=$\sqrt{2}$或a=4$\sqrt{2}$時(shí)，正方形OCMD的面積被直線(xiàn)AB分成1：3兩個(gè)部分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了---函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系、矩形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，證得△MM′E、△EO′A是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．