Question

如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△ACD△ABC以直線AC為對(duì)稱軸翻折得到的．在射線BC上有動(dòng)點(diǎn)P，作∠PAQ=60°，AQ交射線CD于點(diǎn)Q．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)∠PAQ，當(dāng)點(diǎn)PQ落在線段BC、CD上時(shí)，請(qǐng)說明△APQ是等邊三角形；
（2）轉(zhuǎn)動(dòng)∠PAQ，當(dāng)點(diǎn)PQ落在線段BC、CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，△APQ是否仍是等邊三角形？請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)PD⊥AQ時(shí)，求出BP的長(zhǎng)度．（不必寫計(jì)算理由）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AB=AC，∠B=∠ACD=60°，再求出∠BAP=∠CAQ，然后利用“角邊角”證明△ABP和△ACQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AP=AQ，再根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AC=AD，∠ACP=∠ADQ=120°，再求出∠CAP=∠DAQ，然后利用“角邊角”證明△ACP和△ADQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AP=AQ，再根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可；
（3）由于△ABC與△ACD都是等邊三角形，所以四邊形ABCD是菱形，所以AD∥BC，當(dāng)PD⊥AQ時(shí)，則D點(diǎn)為等邊三角形APQ的外心，則四邊形ACPD是菱形，因此BP=2AB=10或BP=0．

解答：（1）證明：∵△ABC與△ACD都是等邊三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
∴∠BAP+∠CAP=60°，
又∵∠CAQ+∠CAP=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，

∠BAP=∠CAQ   AB=AC ∠B=∠ACD

，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等邊三角形；

（2）如圖2，△APQ仍是等邊三角形；
證明：∵△ABC與△ACD都是等邊三角形，
∴AC=AD，∠ACP=∠ADQ=120°，
∴∠CAP+∠DAP=60°，
又∵∠DAQ+∠DAP=60°，
∴∠CAP=∠DAQ，
在△ACP與△ADQ中，

∠ACP=∠ADQ=120° AC=AD ∠CAP=∠DAQ

，
∴△ACP≌△ADQ（ASA）
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等邊三角形；

（3）解：如圖3，BP=10或BP=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的判定，有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形