Question

已知一個直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如圖所示，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點C，與邊AB交于點D．
（1）若折疊后使點B與點A重合，求點D的坐標(biāo)；
（2）若折疊后點B落在邊OA上的點為B′，且使B′D∥OB，此時你能否判斷出B′C和AB的位置關(guān)系？若能，給出證明；若不能，試說出理由．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)折疊變換的性質(zhì)，點D為線段AB的中點，而A、B兩點的坐標(biāo)為A（2，0）、B（0，4），運用中點的坐標(biāo)公式即可解決問題．
（2）由題意知BP=B′P；由B′D∥OB，得到△BCP∽△B′DP，

BC

B′D

=

BP

B′P

=1，故BC=B′D，四邊形BCB′D為平行四邊形，問題即可解決．

解答：解：（1）如圖1，由題意得：
點D為線段AB的中點，A、B兩點的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，4），
設(shè)D點的坐標(biāo)為（λ，μ），則λ=

2+0

2

=1，μ=

4+0

2

=2，
∴D點的坐標(biāo)為（1，2）．
（2）B′C∥AB．理由如下：
如圖2，連接BB′，交CD于點P；
則BP=B′P；
∵B′D∥OB，
∴△BCP∽△B′DP，
∴

BC

B′D

=

BP

B′P

=1，
∴BC=B′D，而B′D∥OB，
∴四邊形BCB′D為平行四邊形，
∴B′C∥AB．

點評：該題以平面直角坐標(biāo)系為載體，以翻折變換為方法，以考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、平行線的判定等幾何知識點為核心構(gòu)造而成；對分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．