Question

2．若一個圓經(jīng)過正方形的對稱中心，則稱此圓為該正方形的“伴侶圓：”，如圖1，正方形ABCD的邊長為a，對角線交于點E，已知⊙O是正方形ABCD的“伴侶圓”，其半徑為r．
（1）當r=1，a=2時，圓心O可以是C．
A．點A   B．點E   C．線段AB的中點   D．線段AE的中點
（2）如果圓心O在正方形ABCD的邊上，且a=1，那么r的取值范圍為$\frac{1}{2}$≤r$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）如果r=1，⊙O與正方形ABCD的四邊最多有2個公共點，那么a的取值范圍為0＜a≤2或a≥2+$\sqrt{2}$．
（4）如果⊙O同時也是邊長為3的正方形EFGH的“伴侶圓”，且EF∥AB，a=1，如圖2，求當⊙O與直線AB相切時r的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)伴侶圓的定義，圓O經(jīng)過正方形ABCD對角線的交點E，圓心到點E距離為1，分析得C符合要求；
（2）當圓心O在正方形ABCD四條邊的中點時，其半徑r最小，當圓心O在正方形ABCD的四個頂點時，半徑最大，分別求出半徑的最大值，最小值即可．
（3）從大到小畫出6種圖形即可解決問題．
（4）連接EG，F(xiàn)H交于點O，設(shè)⊙O和AB相切于點M，設(shè)半徑為r，作OK⊥EG于K，交AB于J，由題意AE=EC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，EN=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，推出EK=KN=$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$，AK=KJ=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，在Rt△OKN中，根據(jù)OK²+KN²=ON²，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）由正方形性質(zhì)得，
點A至點E距離為：$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
點E至點E距離為：0，
線段AB的中點至點E距離為1，
線段AE的中點至點E距離為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選C．
（2）當圓心O在正方形ABCD四條邊的中點時，其半徑r最小為$\frac{1}{2}a$=$\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$，
當圓心O在正方形ABCD的四個頂點時，其半徑r最大為$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤r$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案為：$\frac{1}{2}$≤r$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）如圖①～⑥正方形的邊長不斷縮小，①②③三種情形圓與正方形最多有2個公共點，圖③時，a=2+$\sqrt{2}$，圖④時交點超過2個，圖⑤⑥兩種情形是兩個交點，
圖⑤時，a=2，綜上所述0＜a≤2或a≥2+$\sqrt{2}$．
故答案為0＜a≤2或a≥2+$\sqrt{2}$．

（4）連接EG，F(xiàn)H交于點O，設(shè)⊙O和AB相切于點M，設(shè)半徑為r，

作OK⊥EG于K，交AB于J，由題意AE=EC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，EN=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴EK=KN=$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$，AK=KJ=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
在Rt△OKN中，∵OK²+KN²=ON²，
∴（$\frac{5\sqrt{2}}{4}$-$\sqrt{2}$r）²+（$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$）²=r²，
解得r=$\frac{5±2\sqrt{2}}{2}$，
∴當⊙O與直線AB相切時r的值為$\frac{5±2\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性比較強，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，學(xué)會轉(zhuǎn)化為方程的思想解決問題，熟練掌握特殊三角形邊之間的關(guān)系，屬于中考壓軸題．