Question

8．如圖，在平面直角坐標系中，直線l平行x軸，交y軸于點A，第一象限內的點B在l上，連結OB，動點P在直線OB上運動且滿足∠APQ=90°，PQ交x軸于點C．點D是直線OB與直線CA的交點，點E是直線CP與y軸的交點，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，則PA：PC=（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$或$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 可分點P在線段OB的延長線上及其反向延長線上兩種情況進行討論．易證PA：PC=PN：PM，設OA=x，只需用含x的代數(shù)式表示出PN、PM的長，即可求出PA：PC的值．

解答 解：①若點P在線段OB的延長線上，
過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，
PM與直線AC的交點為F，如圖1所示．

∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，
∴△ANP∽△CMP．
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PN}{PM}$．
∵∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AP⊥PC，
∴EP=CP．
∵PM∥y軸，
∴AF=CF，OM=CM．
∴FM=$\frac{1}{2}$OA．
設OA=x，
∵PF∥OA，
∴△PDF∽△ODA．
∴$\frac{PF}{OA}=\frac{PD}{OD}$，
∵PD=2OD，
∴PF=2OA=2x，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$x．
∴PM=$\frac{5}{2}$x．
∵∠APC=90°，AF=CF，
∴AC=2PF=4x．
∵∠AOC=90°，
∴OC=$\sqrt{15}$x．
∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，
∴四邊形PMON是矩形．
∴PN=OM=$\frac{\sqrt{15}}{2}$x．
∴PA：PC=PN：PM=$\frac{\sqrt{15}}{2}x$：$\frac{5}{2}$x=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
②若點P在線段OB的反向延長線上，
過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，
PM與直線AC的交點為F，如圖2所示．

同理可得：PM=$\frac{3}{2}$x，CA=2PF=4x，OC=$\sqrt{15}$x．
∴PN=OM=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{\sqrt{15}}{2}$x．
∴PA：PC=PN：PM=$\frac{\sqrt{15}}{2}$x：$\frac{3}{2}$x=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
綜上所述：PA：PC的值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$或$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
故選：C．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練運用相似判定與性質是關鍵．