Question

【題目】某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行如下討論：

甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形．

乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形，如圖1，△ABC是正三角形， ，證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形．

丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)是5時(shí)，它是正多邊形，我想…，邊數(shù)是7時(shí)，它可能也是正多邊形．

（1）請(qǐng)你說明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等；

（2）請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG（如圖2）是正七邊形；（不必寫已知，求證）

（3）根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想．（不必證明）

Answer 1

【答案】（1）圖（1）中六邊形各角相等；（2）證明見解析（3）猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)（或當(dāng)邊數(shù)是3，5，7，9，時(shí)），各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形

【解析】試題分析：（1）由題圖①知∠AFC對(duì)，∠DAF對(duì)，根據(jù)已知可得，從而可以得到∠AFC=∠DAF，即可得證；

（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合圖形不難得到=，繼而得到，同理可得到其它狐之間的相等關(guān)系，進(jìn)而證明結(jié)論；

（3），根據(jù)已知條件進(jìn)行分析，結(jié)合上面的結(jié)論寫出猜想即可.

試題解析：（1）由圖知∠AFC對(duì)，

∵，而∠DAF對(duì)的，

∴∠AFC=∠DAF．同理可證，其余各角都等于∠AFC，

故圖（1）中六邊形各角相等；

（2）∵∠A對(duì)，∠B對(duì)，

又∵∠A=∠B，

∴，

∴，

同理， ．

（3）猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)（或當(dāng)邊數(shù)是3，5，7，9，時(shí)），

各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．