Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點B、C的橫坐標都是3，且BC=2，點D在AC上，若反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（x＞0）$的圖象經(jīng)過點B、D，且$\frac{AO}{BC}=\frac{3}{2}$．
（1）求：k及點D坐標；
（2）將△AOD沿著OD折疊，設(shè)頂點A的對稱點A₁的坐標是A₁（m，n），求：代數(shù)式m+3n的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)AO：BC=3：2，BC=2得出OA的長，再根據(jù)點B、C的橫坐標都是3可知BC∥AO，故可得出B點坐標，再根據(jù)點B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上可求出k的值，由AC∥x軸可設(shè)點D（t，3）代入反比例函數(shù)的解析式即可得出t的值，進而得出D點坐標；
（2）過點A₁作EF∥OA交AC于E，交x軸于F，連接OAA₁，根據(jù)AC∥x軸可知∠A₁ED=∠A₁FO=90°，由相似三角形的判定定理得出△DEA₁∽△A₁FO，設(shè)A₁（m，n），可得出$\frac{m}{n}$=$\frac{3-n}{m-1}$，再根據(jù)勾股定理可得出m²+n²=9，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AO：BC=3：2，BC=2，
∴OA=3，
∵點B、C的橫坐標都是3，
∴BC∥AO，
∴B（3，1），
∵點B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴1=$\frac{k}{3}$，解得k=3，
∵AC∥x軸，
∴設(shè)點D（t，3），
∴3t=3，解得t=1，
∴D（1，3）；

（2）過點A₁作EF∥OA交AC于E，交x軸于F，連接OA₁，
∵AC∥x軸，
∴∠A₁ED=∠A₁FO=90°，
∵∠OA₁D=90°，
∴∠A₁DE=∠OA₁F，
∴△DEA₁∽△A₁FO，
∵A₁（m，n），
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{3-n}{m-1}$，
∴m²+n²=m+3n，
∵m²+n²=OA₁²=OA²=9，
∴m+3n=9．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，翻折的性質(zhì)，勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點等知識，難度適中．