Question

甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩城同時出發(fā)，甲車從A城駕駛往終點B城，乙車從B城駛往終點A城，甲車到A城的距離y₁（km）與行駛時間x（時）之間的關系如圖．
（1）求y₁關于x的表達式；
（2）已知乙車以60km/時的速度勻速行駛，設行駛過程中，兩車的距離為s（km），請直接寫出s關于x的表達式；
（3）當乙車以60km/時的速度與甲車相遇后，速度隨即改為a（km/時），并保持勻速行駛，結果比甲車晚40分鐘到達終點，求乙車變化后的速度a，并在圖中畫出乙車距A城的距離y₂（km）與行駛時間x（時）之間的函數圖象；
（4）在（3）的條件下，乙出發(fā)多長時間后，甲、乙兩車相距30km．

Answer 1

考點：一次函數的應用

專題：

分析：（1）由圖象知當x=3時，y₁=300，利用待定系數法可求得y₁關于x的表達式；
（2）由（1）可求得AB的距離為300km，甲的速度為100km/s，分相遇前、相遇后和甲到B而乙未到A三種情況，相遇前由題意可知s=AB兩地距離-（甲行駛的路程+乙行駛的路程），相遇后可知s=（甲行駛的路程+乙行駛的路程）-AB兩地距離，甲到A而乙未到A時，可知s=乙所行駛的路程，可得出表達式；
（3）由圖象可知甲、乙所行駛的路程相同，可先求得甲所用的時間，則可得出乙所用的時間，利用乙行駛的路程為300km，列出關于a的方程求a即可，再分相遇前和相遇后兩種情況求出y₂（km）與行駛時間x（時）之間的函數關系式；
（4）根據（2）所求的函數關系式，結合（3）條件，可得到速度改變后的函數關系式，代入計算即可．

解答：解：（1）由圖象可知y₁是關于x的正比例函數，設為y₁=kx，
又∵當x=3時，y₁=300，代入可得k=100，
∴y₁=100x；
（2）由（1）可知AB的距離為300km，甲的速度為100km/時，甲行駛時間為3小時，乙行駛時間為

300

60

=5小時，
由題意可得60x+100x=300，解得x=

15

8

，
即當x=

15

8

時，兩邊相遇，
則當0≤x≤

15

8

時，s=300-（60+100）x=300-160x；
當

15

8

＜x≤3時，s=（60+100）x-300=160x-300；
當3≤x≤5時，s=60x；
綜上可知s=

300-160x(0≤x≤ 15 8 ) 160x-300( 15 8 ＜x≤3) 60x(3＜x≤5)

；
（3）由上可知甲到B所用時間為3小時，則乙到A所用時間為3+

2

3

=

11

3

（小時），且相遇前所用時間為

15

8

小時，則相遇后所用時間為

43

24

小時，
根據題意可得

15

8

×60+

43

24

a=300，解得a=

900

43

，
所以當0≤x≤

15

8

時，y₂=300-60x，當

15

8

＜x≤5時，y₂=300-

900

43

x，
可利用描點法畫出函數圖象，如圖；

（4）當0≤x≤

15

8

時，令300-160x=30，解得x=

27

16

，滿足x的范圍；
當

15

8

＜x≤3時，令（

900

43

+100）x-300=30，解得x=

1419

520

；滿足x的范圍；
當3≤x≤5時，令

900

43

x=30，解得x=

43

30

，不符合x的范圍；
綜上可知當乙車出發(fā)

27

16

小時和

1419

520

小時，兩車相距30km．

點評：本題主要考查待定系數法求函數解析式及其圖象，掌握行程問題中的等量關系是解題的關鍵，注意分情況討論．