Question

19．如圖a，直線l經(jīng)過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC=30°，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于點(diǎn)Q．
（1）如圖b，當(dāng)點(diǎn)P在半徑OA上時(shí)，若QP=QO，求∠OCP的度數(shù)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上其他位置時(shí)，是否還存在∠OCP使得QP=QO？若存在，請(qǐng)求出∠OCP的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠QPO=x，由QO=QP得到∠QPO=∠QOP=x，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠Q=180°-2x，由OQ=OC，得出∠C=180°-2x，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠OPQ=∠C+∠POC，得180°-2x+30°=x，求得x的值，進(jìn)而即可求得∠OCP的度數(shù)．
（2）分類討論：如圖2，設(shè)∠QOC=x，則∠QOP=x+30°，由QO=QP得到∠QPO=∠QOP=x+30°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠QCO=∠COP+∠CPO=x+60°，而OQ=OC，所以∠OQC=∠OCQ=x+60°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得x+x+60°+x+60°=180°，解得x=20°，再利用∠OCP=∠QOC+∠OQC進(jìn)行計(jì)算即可；當(dāng)點(diǎn)Q在C點(diǎn)時(shí)，則∠OCP=120°；利用同樣的方法，解決如圖3的情況．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)∠QPO=x，
∵PQ=QO，
∴∠QOP=∠QPO=x，
∴∠Q=180°-2x，
∵OQ=OC，
∴∠C=180°-2x，
∵∠OPQ=∠C+∠POC，
∴180°-2x+30°=x，解得x=70°，
∴∠OCP=180°-2×70°=40°；
（2）存在，
如圖2，設(shè)∠QOC=x，則∠QOP=x+30°，
∵QO=QP，
∴∠QPO=∠QOP=x+30°，
∴∠QCO=∠COP+∠CPO=30°+x+30°=x+60°，
∵OQ=OC，
∴∠OQC=∠OCQ=x+60°，
∴x+x+60°+x+60°=180°，解得x=20°，
∴∠OCP=∠QOC+∠OQC=20°+20°+60°=100°；
當(dāng)點(diǎn)Q在C點(diǎn)時(shí)，易得∠OCP=120°；
如圖3，設(shè)∠QPO=x，
∵PQ=QO，
∴∠QOP=∠QPO=x，
∴∠CQO=2x，
而OC=OQ，
∴∠C=2x，
∵∠AOC=∠APC+∠C，
∴x+2x=30°，解得x=10°，
∴∠OCP=2x=20°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．