Question

1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)C₁在邊BC上，將△C₁CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A₁AD．A₁F平分∠BA₁C₁，交BD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥A₁C₁，垂足為E，當(dāng)A₁E=3，C₁E=2時(shí)，則BD的長(zhǎng)為$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 連接C₁F，作FH⊥AB于H，F(xiàn)G⊥BC于G，如圖，利用正方形的性質(zhì)得FB平分∠HBG，則可判斷C₁F平分∠GC₁E，利用角平分線的性質(zhì)得FH=FG=FE，易得△A₁HF≌△A₁EF，△C₁GF≌△C₁EF，四邊形BGFH為正方形，所以A₁H=A₁E=3，C₁G=C₁E=2，設(shè)BG=BH=x，根據(jù)勾股定理得（2+x）²+（3+x）²=5²，解得x=1，接著根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A₁A=C₁C，所以4-CC₁=3+C₁C，解得C₁C=$\frac{1}{2}$，所以BC=$\frac{7}{2}$，然后利用BD=$\sqrt{2}$BC進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：連接C₁F，作FH⊥AB于H，F(xiàn)G⊥BC于G，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴FB平分∠HBG，
而A₁F平分∠BA₁C₁，
∴C₁F平分∠GC₁E，
∴FH=FG=FE，
易得△A₁HF≌△A₁EF，△C₁GF≌△C₁EF，四邊形BGFH為正方形，
∴A₁H=A₁E=3，C₁G=C₁E=2，
設(shè)BG=BH=x，
在Rt△A₁BC₁中，（2+x）²+（3+x）²=5²，解得x₁=1，x₂=-6（舍去），
∴A₁B=4，BC₁=3，
∵△C₁CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A₁AD，
∴A₁A=C₁C，
而AB=BC，
∴4-CC₁=3+C₁C，解得C₁C=$\frac{1}{2}$，
∴BC=3+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴BD=$\sqrt{2}$BC=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
故答案為$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．