Question

9．如圖，在等邊三角形ABC中，P為邊AB上一點，Q為邊AC上一點，且AP=CQ，今量得點A與線段PQ的中點M之間的距離是19cm，則點P與點C之間的距離等于38cm．

Answer 1

分析 如圖，作PN∥AC交BC于N，連接NQ，連接AN交PQ于M′．首先證明四邊形APNQ是平行四邊形，推出M與M′重合，再證明PC=AN即可解決問題．

解答 解：如圖，作PN∥AC交BC于N，連接NQ，連接AN交PQ于M′．

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∴∠PNB=∠ACB=60°，
∴△PBN是等邊三角形，
∴PB=PN，
∵AB=AC，AP=CQ，
∴PB=AQ=PN，
∴四邊形APNQ是平行四邊形，
∴PM′=QM′，
∴M與M′重合，AM=MN=19cm，AN=38cm，
在△ABN和△CBP中，
{BN=BP∠B=∠BAB=BC，
∴△ABN≌△CBP，
∴PC=AN=38cm，
故答案為38cm．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．