Question

14．已知：如圖，在平面直角坐標系中，正三角形OAB的頂點B的坐標為（2，0），點A在第一象限內(nèi)
（1）求點A的坐標
（2）如圖，將△OAB沿O到A的方向平移4個單位至△O′A′B′的位置，即AA′=4，求點B′的坐標
（3）如圖，將△OAB沿O到A的方向平移n個單位至△O′A′B′的位置，若平移后的B′點橫坐標為2017，求n的值．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥x軸于點M．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OA=OB=2，∠AOB=60°，在直角△OAM中利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OM=$\frac{1}{2}$OA=1，AM=$\sqrt{3}$OM=$\sqrt{3}$，則A的坐標可求；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可知當AA′=4時，OO′=4，連結(jié)O′B，由OA=O′A=AB=2，得出∠O′BO=90°，再解直角△OO′B，得出OB=$\frac{1}{2}$OO′=2，O′B=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$，進而求出點B′的坐標；
（3）過O′作x軸的垂線，垂足為P．解直角△OO′P，得出OP=$\frac{1}{2}$OO′=$\frac{1}{2}$n，根據(jù)平移后的B′點橫坐標為2017，列出方程$\frac{1}{2}$n+2=2017，求解即可．

解答 解：（1）如圖，作AM⊥x軸于點M．
∵正三角形OAB的頂點B的坐標為（2，0），
∴OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=1，AM=$\sqrt{3}$OM=$\sqrt{3}$，
∴A（1，$\sqrt{3}$）；

（2）當AA′=4時，OO′=4，連結(jié)O′B，如圖，
∵OA=O′A=AB=2，
∴∠O′BO=90°，
∴OB=$\frac{1}{2}$OO′=2，O′B=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$，
∴點B′的坐標為（2+2，2$\sqrt{3}$），即（4，2$\sqrt{3}$）；

（3）如圖，將△OAB沿O到A的方向平移n個單位至△O′A′B′的位置，即AA′=n，
∴OO′=n．
如下圖，過O′作x軸的垂線，垂足為P．

在△OO′P中，∵∠O′PO=90°，∠OO′P=30°，OO′=n，
∴OP=$\frac{1}{2}$OO′=$\frac{1}{2}$n，
∵平移后的B′點橫坐標為2017，O′B′=2，
∴$\frac{1}{2}$n+2=2017，
∴n=4030．

點評 本題考查了坐標與圖形變化-平移，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．也考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)．求出OB′的長度是解題的關鍵．