Question

3．如圖，AB為半⊙O的直徑，C為弧AB上一點，D為弧AC的中點，DE⊥AB于點E，交AC于點F．求證：
（1）DF=AF；
（2）DE=$\frac{1}{2}$AC．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接BD；首先證明∠DAC=∠ABD；其次證明∠ADE=∠ABD，得到∠ADE=∠DAC，即可解決問題．
（2）如圖，連接OD；首先證明AG=GC；其次證明DE=AG，即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，連接BD；OD交AC于點G；
∵D為弧AC的中點，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，∠DAC=∠ABD；
∵AB為半⊙O的直徑，且DE⊥AB，
∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD，
∴∠ADE=∠ABD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴DF=AF．
（2）如圖，連接OD；
∵D為弧AC的中點，
∴OD⊥AC，AG=GC；
在△ADE與△DAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAG=∠ADE}\\{∠AGD=∠DEA}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DAG（AAS），
∴DE=AG，
∵AG=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC．

點評 該題主要考查了垂徑定理、圓周角定理及其推論、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運用垂徑定理、圓周角定理及其推論等知識點來分析、判斷、解答．