Question

14．已知，如圖l₁∥l₂，點(diǎn)A、B在直線l₁上，AB=3，過點(diǎn)A作AC⊥l₂，垂足為點(diǎn)C，AC=4，過點(diǎn)A的直線與直線l₂交于點(diǎn)P，以點(diǎn)C為圓心，CP為半徑作⊙C．
（1）當(dāng)CP=1時，求sin∠CAP的值和直線AP被⊙C截得的弦長；
（2）如果⊙C與以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑的⊙B相切，求CP的長；
（3）設(shè)點(diǎn)Q在射線CP上，若△QCB是等腰三角形，以QB為半徑的⊙Q與⊙C外切，求⊙C的半徑CP的長．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得出AP的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出即可；
（2）利用當(dāng)⊙C與⊙B相外切時以及當(dāng)⊙C與⊙B相內(nèi)切時分別得出即可；
（3）利用當(dāng)QB=BC=5以及CQ=BC=5時分別得出QC，BQ的長，進(jìn)而得出⊙C的半徑CP的長．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CH⊥AP于H，
∵AC⊥l₂，AC=4，CP=1，
∴在Rt△ACP中，AP=$\sqrt{A{C}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴sin∠CAP=$\frac{CP}{AP}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
∴∠CAP+∠ACH=∠PCH+∠ACH=90°，
∴∠PCH=∠CAP，
∴在Rt△PCH中，PH=CP×sin∠PCH=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
∴直線AP被⊙C截得的弦長為2PH=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$；

（2）當(dāng)⊙C與⊙B相外切時，
∵AB=3，AC=4，AC⊥l₂，
∴BC=5，CP=5-3=2，
當(dāng)⊙C與⊙B相內(nèi)切時，CP=5+3=8，；

（3）若QC=QB，不合題意；
如圖2，若QB=BC=5，過B作BG⊥CP于G，
∵l₁∥l₂，AC⊥l₂，
∴BG=AC=4，CG=GQ=3，
∴CQ=6，
∴當(dāng)⊙Q與⊙C外切時，CP=CQ-QB=6-5=1，
如圖3，若CQ=BC=5，過B作BM⊥CP于M，
∴BM=AC=4，CM=3，
∴QM=2，
在Rt△MB中，
QB=$\sqrt{B{M}^{2}+Q{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故當(dāng)⊙Q與⊙C外切時，CP=CQ-BQ=5-2$\sqrt{5}$，
綜上所述：⊙C的半徑CP的長為：1或5-2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了勾股定理以及圓的綜合應(yīng)用、相切的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用分類討論得出CP的長是解題關(guān)鍵．