Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-$\frac{1}{2}$（x+m）²的頂點(diǎn)為A，直線y=-x-m與y軸相交于點(diǎn)B，其中m＞0．
（1）判斷點(diǎn)A是否在直線y=-x-m上；
（2）點(diǎn)C是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線上，若以C、D、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOB全等，求出m的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點(diǎn)式得出點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解答即可；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠DAC=45°，AD=AB或AD=AO兩種情況進(jìn)行解答．

解答 解：（1）因?yàn)閽佄锞�y=-$\frac{1}{2}$（x+m）²的頂點(diǎn)為A，
可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（-m，0），
把A（-m，0）代入y=-x-m中，
可得：0=-（-m）-m成立，
∴A在直線上；
（2）因?yàn)橹本�y=-x-m與y軸相交于點(diǎn)B，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-m），
所以△AOB是等腰直角三角形，
若△CDA與△AOB全等，
∵∠DAC≠90°，
∴必有∠DAC=45°，且AD=AB或AD=AO，
①若∠DAC=45°，AD=AB=$\sqrt{2}$m，
則D（0，-m）或D（-2m，-m）代入y=-$\frac{1}{2}$（x+m）²，
得：m=0或2，
∵m＞0，
∴m=2，
點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，-2）或（-4，-2）；
②若∠DAC=45°，AD=AO=m，
則D（$-m±\frac{\sqrt{2}}{2}m$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}m$）代入y=-$\frac{1}{2}$（x+m）²，
得：m=0或2$\sqrt{2}$，
∵m＞0，
∴m=2$\sqrt{2}$，
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$-2\sqrt{2}±2$，-2）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查一次函數(shù)綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)頂點(diǎn)式得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．