Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，E為OD延長線上一點(diǎn)，且∠CAE=2∠C，AC與BD交于點(diǎn)H，與OE交于點(diǎn)F．

(1)求證：AE是⊙O的切線；

(2)若DH=9，tanC=，求直徑AB的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析

(2)20

【解析】

(1)根據(jù)垂徑定理得到OE⊥AC，求得∠AFE=90°，求得∠EAO=90°，于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到∠ODB=∠C，求得tanC=tan∠ODB=

設(shè)HF=3x，DF=4x，根據(jù)勾股定理得到DF=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

求得AF=CF=

設(shè)OA=OD=x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

(1)∵D是的中點(diǎn)

∴OE⊥AC

∴∠AFE=90°

∴∠E+∠EAF=90°

∵∠AOE=2∠C，∠CAE=2∠C

∴∠CAE=∠AOE

∴∠E+∠AOE=90°

∴∠EAO=90°

∴AE是⊙O的切線

(2)連接AD，在RtADH中

∵∠DAC=∠C

∴tan∠DAC=tanC=

∵DH=9

∴AD=12

在RtBDA中，∵tanB=tanC=

∴sinB=

∴AB=20