Question

【題目】表示以為自變量的函數(shù)，則表示當(dāng)時(shí)函數(shù)的值．例如，一次函數(shù)記作，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值．現(xiàn)給出新定義：對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱點(diǎn)是函數(shù)的“奇妙點(diǎn)”．

（1）求函數(shù)的“奇妙點(diǎn)”；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)存在“奇妙點(diǎn)”？

（3）若二次函數(shù)有且只有一個(gè)“奇妙點(diǎn)”，其圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），是軸上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)的周長(zhǎng)最短時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）是函數(shù)的“奇妙點(diǎn)”；（2）為任意實(shí)數(shù)時(shí)或時(shí)；（3）的周長(zhǎng)為．

【解析】

（1）由題意得：4x+6＝2x+12，求出x＝3，則答案可求出；

（2）分三種不同情況討論：①當(dāng)2a﹣2≠0，即a≠1，b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)y＝2ax+3b﹣2有一個(gè)“奇妙點(diǎn)”；②當(dāng)2a﹣2＝0且14﹣3b＝0，即a＝1，b＝時(shí)，函數(shù)y＝2ax+3b﹣2有無數(shù)個(gè)“奇妙點(diǎn)”；③當(dāng)2a﹣2＝0且14﹣3b≠0，即a＝1，b≠時(shí)，函數(shù)y＝2ax+3b﹣2沒有“奇妙點(diǎn)”．

（3）由題意得方程ax2﹣2x+8＝2x+12有且只有一個(gè)解，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，可得二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+8的圖象與x軸的交點(diǎn)為B（﹣4，0），C（2，0）．如圖，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'A交y軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)為所求，求出直線B'A的解析式為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可求出，求出AB和AB'的長(zhǎng)即可得出答案．

解：（1）由題意得：4x+6＝2x+12，

解得：x＝3．

∴（3，18）是函數(shù)y＝4x+6的奇妙點(diǎn)；

（2）由2ax+3b﹣2＝2x+12得（2a﹣2）x＝14﹣3b，

①當(dāng)2a﹣2≠0，即a≠1，b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程（2a﹣2）x＝14﹣3b有唯一解x＝，函數(shù)y＝2ax+3b﹣2有一個(gè)“奇妙點(diǎn)”；

②當(dāng)2a﹣2＝0且14﹣3b＝0，即a＝1，b＝時(shí)，方程（2a﹣2）x＝14﹣3b的解為全體實(shí)數(shù)，函數(shù)y＝2ax+3b﹣2有無數(shù)個(gè)“奇妙點(diǎn)”；

③當(dāng)2a﹣2＝0且14﹣3b≠0，即a＝1，b≠時(shí)，方程（2a﹣2）x＝14﹣3b無解，函數(shù)y＝2ax+3b﹣2沒有“奇妙點(diǎn)”．

（3）∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+8（a≠0）有且只有一個(gè)“奇妙點(diǎn)”，

∴方程ax2﹣2x+8＝2x+12有且只有一個(gè)解，

該方程可化為ax2﹣4x﹣4＝0，

∴△＝（﹣4）2﹣4×（﹣4a）＝0，

解得，a＝﹣1，

∴y＝﹣x2﹣2x+8的“奇妙點(diǎn)”為A（﹣2，8），

∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+8，

∴二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+8的圖象與x軸的交點(diǎn)為B（﹣4，0），C（2，0）．

如圖，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'A交y軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)為所求，

求得B'（4，0），

設(shè)直線直線B'A的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直線B'A的解析式為，

∴P（0，）．

∴，，

∴△PAB的周長(zhǎng)為．