Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連結AP，BP，則AP+$\frac{1}{2}$BP的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{37}$
• B． 6
• C． 2 $\sqrt{17}$
• D． 4

Answer 1

分析 連接CP，在CB上取點D，使CD=1，則有$\frac{CD}{CP}$=$\frac{CP}{CB}$=$\frac{1}{2}$，因為∠PCD=∠BCP，所以△PCD∽△BCP，所以$\frac{PD}{BP}$=$\frac{1}{2}$，推出PD=$\frac{1}{2}$BP，所以AP+$\frac{1}{2}$BP=AP+PD，要使AP+$\frac{1}{2}$BP最小，只要AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即：AP+$\frac{1}{2}$BP最小值為AD，求出AD即可

解答 解：如圖1，連接CP，在CB上取點D，使CD=1，則有$\frac{CD}{CP}$=$\frac{CP}{CB}$=$\frac{1}{2}$，

又∵∠PCD=∠BCP，
∴△PCD∽△BCP，
∴$\frac{PD}{BP}$=$\frac{1}{2}$，
∴PD=$\frac{1}{2}$BP，
∴AP+$\frac{1}{2}$BP=AP+PD．
要使AP+$\frac{1}{2}$BP最小，只要AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，
即：AP+$\frac{1}{2}$BP最小值為AD，
在Rt△ACD中，CD=1，AC=6，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
AP+$\frac{1}{2}$BP的最小值為$\sqrt{37}$，
故選A．

點評 此題主要考查軸對稱-最短問題、勾股定理，相似三角形的判定和性質、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．