Question

12．如圖，直線AB交x軸于點A（4，0），交y軸于點B，交反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）于點P（第一象限），若點P的縱坐標(biāo)為2，且tan∠BAO=1
（1）求出反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的解析式；
（2）過線段AB上一點C作x軸的垂線，交反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）于點D，連接PD，當(dāng)△CDP為等腰三角形時，求點C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過點P作PE⊥x軸于點E，求出點P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）首先求出直線AB的解析式，然后設(shè)C（m，m-4），則D（m，$\frac{12}{m}$），過P作PF⊥CD于F點，則F（m，2），根據(jù)DF=CF列出m的方程，求出m的值即可．

解答 解：（1）過點P作PE⊥x軸于點E，
∵tan∠BAO=1，
∴∠BAO=45°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∵點P的縱坐標(biāo)為2，
∴PE=AE=2，
∵A（4，0），
∴P（6，2），
∴k=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{12}{x}$；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b且A（4，0），P（6，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴y=x-4，
設(shè)C（m，m-4），則D（m，$\frac{12}{m}$），
過P作PF⊥CD于F點，則F（m，2），
∵PD=PC，PF⊥CD，
∴DF=CF，
∴$\frac{12}{m}$-2=2-（m-4），
∴m²-8m+12=0，
解得m₁=2，m₂=6（不合題意，舍去），
∴當(dāng)C（2，-2）時，△CDP為等腰直角三角形．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)的解析式以及正確作出輔助線，此題難度不大．