Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ACD的外接圓⊙O交BC于E點，連接DE并延長，交AC于P點，交AB延長線于F．
（1）求證：CF=DB；
（2）當AD=

3

時，試求E點到CF的距離．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連結(jié)AE，由∠ABC=60°，AB=BC可判斷△ABC為等邊三角形，由AB∥CD，∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°，則根據(jù)圓周角定理可得到AC為⊙O的直徑，則∠AEC=90°，即AE⊥BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BE=CE，再證明△DCE≌△FBE，得到DE=FE，于是可判斷四邊形BDCF為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得CF=DB；
（2）作EH⊥CF于H，由△ABC為等邊三角形得∠BAC=60°，則∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得DC=

3

3

AD=1，AC=2CD=2，
則AB=AC=2，BF=CD=1，AF=3，然后利用勾股定理計算出BD=

7

，DF=2

3

，所以CF=BD=

7

，EF=

1

2

DF=

3

，接著根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)由AE⊥BC得∠CAE=∠BAE=30°，根據(jù)圓周角定理得∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，得到∠DPC=90°，在Rt△DPC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得PC=

1

2

DC=

1

2

，
再證明Rt△FHE∽Rt△FPC，利用相似比可計算出EH．

解答：（1）證明：連結(jié)AE，如圖，
∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∵AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠ADC=∠DAB=90°，
∴AC為⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，
∴BE=CE，
CD∥BF，
∴∠DCE=∠FBE，
在△DCE和△FBE中，

∠DCE=∠FBE CE=BE ∠DEC=∠BEF

，
∴△DCE≌△FBE（ASA），
∴DE=FE，
∴四邊形BDCF為平行四邊形，
∴CF=DB；

（2）解：作EH⊥CF于H，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，AD=

3

，
∴DC=

3

3

AD=1，AC=2CD=2，
∴AB=AC=2，BF=CD=1，
∴AF=3，
在Rt△ABD中，BD=

AD2+AB2

=

7

，
在Rt△ADF中，DF=

AD2+AF2

=2

3

，
∴CF=BD=

7

，EF=

1

2

DF=

3

，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE=∠BAE=30°，
∴∠EDC=∠CAE=30°，
而∠DCA=∠BAC=60°，
∴∠DPC=90°，
在Rt△DPC中，DC=1，∠CDP=30°，
∴PC=

1

2

DC=

1

2

，
∵∠HFE=∠PFC，
∴Rt△FHE∽Rt△FPC，
∴

EH

PC

=

FE

FC

，即

EH

1 2

=

3

7

，
∴EH=

21

14

，
即E點到CF的距離為

21

14

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)；會運用三角形全等的知識解決線段相等的問題；會運用勾股定理和相似比進行幾何計算．