Question

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于點(diǎn)G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）證明：BE=CF；
（2）如果AB=12，AC=8，求AE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接DB、DC，證明Rt△BDE≌Rt△CFD即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可得出CF=BE，且AE=AF=AC+CF，而CF=BE=AB-AE，代入可求得結(jié)果．

解答：（1）證明：連接DB、DC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵DG⊥BC且平分BC于點(diǎn)G，
∴DB=DC，
在Rt△BDE和Rt△CFD中，

DE=DF BD=CD

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF；
（2）解：由（1）知BE=CF，
且在△ADE和△ADF中

∠EAD=FAD ∠DEA=∠DFA AD=AD

∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF=AC+CF，
而CF=BE=AB-AE，
∴AE=AC+AB-AE，
∴2AE=AC+AB=8+12=20，
∴AE=10．

點(diǎn)評：本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．