Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點D是BC上一定點．動點P從C出發(fā)，以2cm/s的速度沿C→A→B方向運動，動點Q從D出發(fā)，以1cm/s的速度沿D→B方向運動．點P出發(fā)5s后，點Q才開始出發(fā)，且當(dāng)一個點達到B時，另一個點隨之停止．圖2是當(dāng)0≤t≤5時△BPQ的面積S（cm²）與點P的運動時間t（s）的函數(shù)圖象．

（1）CD=

 

，a=

 

；
（2）當(dāng)點P在邊AB上時，為何值時，使得△BPQ與△ABC為相似？
（3）運動過程中，求出當(dāng)△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時t的值．

Answer 1

考點：相似形綜合題,動點問題的函數(shù)圖象,勾股定理的應(yīng)用

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象得到當(dāng)點P運動到點A時，△BPQ的面積為18，利用三角形面積公式可計算出BD=6，則CD=2，當(dāng)t=5s時，AP=4，點Q在D點，作PH⊥BC于H，在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理計算出AB=10，再證明△BPH∽△BAC，利用相似比計算出PH，然后根據(jù)三角形面積公式得到S_△PBQ，即a=S_△PBQ；
（2）分類討論：當(dāng)3＜t≤5，點Q在D點，BP=16-2t，若PD⊥BC得到△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；當(dāng)5＜t≤8，DQ=t-5，BQ=11-t，BP=16-2t，當(dāng)∠PQB=90°時，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；當(dāng)∠BPQ=90°時，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；
（3）PB=16-2t，BQ=11-t，分類討論：當(dāng)BP=BQ，則16-2t=11-t，解方程得t=5；當(dāng)PB=PQ，作PM⊥BC于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得則BM=

1

2

BQ=

1

2

（11-t），再證明△BPM∽△BAC，利用相似比得t值．

解答：解：（1）當(dāng)點P運動到點A時，△BPQ的面積為18，
∴

1

2

•6•BD=18，解得BD=6，
∴CD=BC-BD=2，
當(dāng)t=5s時，AP=2×5-6=4，點Q在D點，點P在AB上如圖①，作PH⊥BC于H，
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∵PH∥AC，
∴△BPH∽△BAC，
∴

PH

AC

=

BP

BA

，即

PH

6

=

10-4

10

，解得PH=

18

5

，
∴S_△PBQ=

1

2

×6×

18

5

=

54

5

，
即a=

54

5

；
故答案為：2，

54

5

；

（2）點P在邊AB上，
當(dāng)3＜t≤5，點Q在D點，BP=16-2t，
若PD⊥BC，△BPQ∽△BAC，
∴

BP

BA

=

BD

BC

，即

16-2t

10

=

6

8

，解得t=

17

4

；
當(dāng)5＜t≤8，DQ=t-5，則BQ=8-2-（t-5）=11-t，BP=16-2t，
當(dāng)∠PQB=90°時，△BPQ∽△BAC，如圖②，
∵△BPQ∽△BAC，
∴

BP

BA

=

BQ

BC

，即

16-2t

10

=

11-t

8

，解得t=3，不合題意舍去；
當(dāng)∠BPQ=90°時，△BPQ∽△BAC，如圖③，
∵△BPQ∽△BCA，
∴

BP

BC

=

BQ

BA

，即

16-2t

8

=

11-t

10

，解得t=6，
綜上所述，當(dāng)t為

17

4

或6時，△BPQ與△ABC為相似；

（3）PB=16-2t，BQ=11-t，
當(dāng)BP=BQ，則16-2t=11-t，解得t=5；
當(dāng)PB=PQ，作PM⊥BC于M，如圖④，則BM=

1

2

BQ=

1

2

（11-t），
∵PM∥AC，
∴△BPM∽△BAC，
∴

BP

BA

=

BM

BC

，即

16-2t

10

=

1 2 (11-t)

8

，解得t=

73

11

，
綜上所述，當(dāng)△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時t的值為5或

73

11

．

點評：本題考查了相似的綜合題：熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)；會從函數(shù)圖象中獲取信息；會根據(jù)勾股定理和相似比進行幾何計算；提高運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題的能力．