Question

如圖，有一個形如六邊形的點陣，它的中心是一個點，算第一層，第二層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點，依此類推．
（1）填寫下表：

層數(shù)	1	2	3	4	5	6
該層對應(yīng)的點數(shù)
所有層的總點數(shù)

（2）寫出第n層所對應(yīng)的點數(shù)；
（3）如果某一層共96個點，你知道它是第幾層嗎；
（4）有沒有一層，它的點數(shù)為100點；
（5）寫出n層的六邊形點陣的總點數(shù)．

Answer 1

考點：規(guī)律型：圖形的變化類

專題：

分析：（1）觀察點陣可以寫出答案；
（2）觀察點陣可知：第二層每邊有2個點，第三層每邊有3個點，第四層每邊有4個點，第五層每邊有5個點，得出第n（n＞1）層每邊對應(yīng)的點數(shù)是n；
（3）根據(jù)六邊形有六條邊，則第一層有1個點，第二層有2×6-6=6（個）點，第三層有3×6-6=12（個）點，進(jìn)一步得出第n層有6（n-1）個點，代入96求得答案即可；
（4）將100代入建立方程求解即可判定；
（5）根據(jù)表格所得出的規(guī)律是從第二層，后面到幾層就增加幾個數(shù)6，由此即可求出答案．

解答：解：（1）如表：

層數(shù)	1	2	3	4	5	6
該層對應(yīng)的點數(shù)	1	6	12	18	24	30
所有層的總點數(shù)	1	7	19	37	61	91

（2）第n層所對應(yīng)的點數(shù)為n；
（3）第n層有（6n-6）個點，
則有6n-6=96，
解得n=17，
即在第17層；
（4）6n-6=100
解得n=

53

3

，不合題意，所以沒有一層，它的點數(shù)為100點；
（5）第二層開始，每增加一層就增加六個點，即n層六邊形點陣的總點數(shù)為，
1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]
=1+6×

n(n-1)

2

=1+3n（n-1）．
第n層六邊形的點陣的總點數(shù)為：1+3n（n-1）=3n²-3n+1．

點評：本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．