Question

9．問題探究：
直線y=x與直線y=-2x+6交于點(diǎn)A，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
P為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，以A、B（3，1）、P、O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3）或（-1，1）或（1，-1）．
問題應(yīng)用：
如圖，已知拋物線y=x²-2x+m（m＜0）頂點(diǎn)為P，與y軸相交于點(diǎn)B，直線y=$\frac{1}{2}$x-m分別與x軸、y軸相交于A、C兩點(diǎn)，并且與直線PB相交于點(diǎn)N．
（1）求PN的解析式；
（2）在拋物線y=x²-2x+m（m＜0）上是否存在點(diǎn)K，使得以K、B、N、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出K點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 問題探究：解方程組可得點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)A、B、O三點(diǎn)坐標(biāo)，利用平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)P坐標(biāo)．
（1）先求出P、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）分兩種情形討論①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時，若四邊形BCPN是平行四邊形，則PN平行且等于BC，②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時，若四邊形BPCN是平行四邊形，則BC與PN互相平分，由直線PN和y=$\frac{1}{2}$x-a聯(lián)立方程組，$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{y=\frac{1}{2}x-a}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}a}\\{y=-\frac{1}{3}a}\end{array}\right.$，即可求出N的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分別列出方程即可解決問題．

解答 問題探究：
解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（2，2）．
如圖1中，

∵A（2，2），B（3，1），O（0，0），以A、B、P、O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
由圖象可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3）或（-1，1）或（1，-1）．
故答案分別為（2，2）；（5，3）或（-1，1）或（1，-1）．

（1）解：∵y=x²-2x+m=（x-1）²-1+m，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（1，m-1），
由于拋物線過B點(diǎn)，因此B的坐標(biāo)是（0，m）．
設(shè)直線PN的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=m}\\{k+b=m-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=m}\end{array}\right.$，
則直線BN的解析式為：y=-x+m．

（2）存在，理由如下：

直線PN和y=$\frac{1}{2}$x-a聯(lián)立方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{y=\frac{1}{2}x-a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}a}\\{y=-\frac{1}{3}a}\end{array}\right.$，
即可求出N的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a），
當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時，若四邊形BCPN是平行四邊形，則PN平行且等于BC，
由B（0，m），C（0，-m），得AC=-2m，
則把N向上平移-2m個單位得到P，坐標(biāo)為（ $\frac{4}{3}$m，-$\frac{7}{3}$m），代入拋物線的解析式，
得：-$\frac{7}{3}$m=$\frac{16}{9}$m²-$\frac{8}{3}$m+m，
解得m₁=0（不舍題意，舍去），m₂=-$\frac{3}{8}$，
則P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$）；
當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時，若四邊形BPCN是平行四邊形，則BC與PN互相平分，
由B（0，m），C（0，-m），則OB=OC，OP=ON．
則P與N關(guān)于原點(diǎn)對稱，
則P（-$\frac{4}{3}$m，$\frac{1}{3}$m）；
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得：$\frac{1}{3}$m=$\frac{16}{9}$m²+$\frac{8}{3}$m+m，
解得m₁=0（不合題意，舍去），m₂=-$\frac{15}{8}$，
則P（ $\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{8}$）．
故存在這樣的點(diǎn)P₁（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$）或P₂（ $\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{8}$），能使得以P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．