Question

10．如圖，已知等邊三角形OAB與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，將△OAB沿直線OB翻折，得到△OCB，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，線段CB交x軸于點(diǎn)D，則$\frac{BD}{DC}$的值為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．（已知sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$）

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知：直線OM：y=x，求出∠BOF=15°，根據(jù)15°的正弦列式可以表示BF的長(zhǎng)，證明△BDF∽△CDN，可得結(jié)論．

解答 解：如圖，過O作OM⊥AB于M，
∵△AOB是等邊三角形，
∴AM=BM，∠AOM=∠BOM=30°，
∴A、B關(guān)于直線OM對(duì)稱，
∵A、B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象上，且反比例函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴直線OM的解析式為：y=x，
∴∠BOD=45°-30°=15°，
過B作BF⊥x軸于F，過C作CN⊥x軸于N，
sin∠BOD=sin15°=$\frac{BF}{OB}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∵∠BOC=60°，∠BOD=15°，
∴∠CON=45°，
∴△CNO是等腰直角三角形，
∴CN=ON，
設(shè)CN=x，則OC=$\sqrt{2}$x，
∴OB=$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{BF}{\sqrt{2}x}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴BF=$\frac{（\sqrt{3}-1）x}{2}$，
∵BF⊥x軸，CN⊥x軸，
∴BF∥CN，
∴△BDF∽△CDN，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BF}{CN}$=$\frac{\frac{（\sqrt{3}-1）x}{2}}{x}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、三角函數(shù)、三角形相似的性質(zhì)和判定、翻折的性質(zhì)，明確反比例函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱是關(guān)鍵，在數(shù)學(xué)題中常設(shè)等腰直角三角形的直角邊為未知數(shù)x，根據(jù)等腰直角三角形斜邊是直角邊的$\sqrt{2}$倍表示斜邊的長(zhǎng)，從而解決問題．