Question

11．如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）在函數(shù)$y=\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上，△P₁OA₁，△P₂A₁ A₂，…，△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，斜邊OA₁，A₁A₂，A₂A₃，…，A_n-1A_n都在x軸上（n是大于或等于2的正整數(shù)），則點(diǎn)P_n的坐標(biāo)是（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）；（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出x₁=y₁，x₂=2x₁+y₂，x₃=2x₁+2x₂+y₃，…，再由點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）在函數(shù)$y=\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上，可得出x₁•y₁=x₂•y₂=x₃•y₃=…=x_n•y_n=1，從而得出y_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，由x_n•y_n=1即可得出點(diǎn)P_n的坐標(biāo)．

解答 解：∵△P₁OA₁，△P₂A₁ A₂，…，△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，
∴x₁=y₁，x₂=2x₁+y₂，x₃=2x₁+2x₂+y₃，…，
∴x_n=2（x₁+x₂+…+x_n-1）+y_n．
∵點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）在函數(shù)$y=\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴x₁•y₁=x₂•y₂=x₃•y₃=…=x_n•y_n=1．
∴x₁=y₁=1，y₂=$\sqrt{2}$-1，y₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，…，y_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$（n是大于或等于2的正整數(shù)），
∴x_n=$\frac{1}{{y}_{n}}$=$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$（n是大于或等于2的正整數(shù)）．
∴點(diǎn)P_n的坐標(biāo)是（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）．
故答案為：（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$，$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)以及規(guī)律型中點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是求出y_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰直角三角形的性質(zhì)，找出點(diǎn)P_n縱坐標(biāo)的變化規(guī)律是關(guān)鍵．