Question

求出當(dāng)2p⁴+p²+16為完全平方式時(shí)，p的所有素?cái)?shù)值．

Answer 1

考點(diǎn)：完全平方數(shù)

專題：

分析：設(shè)2p⁴+p²+16=m²，分當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)，兩種情況討論即可求解．

解答：解：設(shè)2p⁴+p²+16=m²，
當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，2p⁴+p²+16為奇數(shù)，則m必為奇數(shù)；
當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)，2p⁴+p²+16為偶數(shù)，則m必為偶數(shù)．
由于一定有m＞p，因此設(shè)m=p+2k，代入上式，整理可得：
p⁴=2k²+2pk-8，
上式右邊必為偶數(shù)，因此，p為奇數(shù)時(shí)無解；
只有當(dāng)p=2時(shí)才可能有解． 將p=2代入上式可得：k²+2k-12=0，
此方程無整數(shù)解．
因此，不存在滿足題設(shè)要求的質(zhì)數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：考查了完全平方數(shù)，素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）的意義：一個(gè)自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（又叫素?cái)?shù)），以及分類思想的運(yùn)用．