Question

19．問題背景．在△ABC中，AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{13}$，求這個三角形的面積，小輝同學(xué)在解答這道題時先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（△ABC的三個頂點都在正方形的頂點處），如圖所示，這樣不需要求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算它的面積．
（1）請直接寫出△ABC的面積$\frac{7}{2}$；
（2）我們把上述方法叫做構(gòu)圖法，若△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為$\sqrt{5a}$，$\sqrt{8a}$，$\sqrt{17a}$，請你在圖2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）中畫出相應(yīng)的△ABC．并求其面積．

Answer 1

分析 （1）用長寬均為3的矩形面積減去三個直角三角形面積可得；
（2）由勾股定理得出$\sqrt{5a}$、$\sqrt{8a}$、$\sqrt{17a}$即可畫出圖形，用矩形的面積減去三個直角三角形的面積即可得出所求三角形的面積．

解答 解：（1）S_△ABC=3×3-$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×2=$\frac{7}{2}$；

（2）如圖，
∵AB=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，BC=$\sqrt{（2a）^{2}+（2a）^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，AC=$\sqrt{{a}^{2}+（4a）^{2}}$=$\sqrt{17}$a，
∴△ABC即為所求作三角形，

則S_△ABC=2a•4a-$\frac{1}{2}$×a×2a-$\frac{1}{2}$×2a×2a-$\frac{1}{2}$×a×4a=3a²．
故答案為：（1）$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查了勾股定理、三角形面積的計算方法；熟練掌握勾股定理，根據(jù)邊長畫出三角形是解決問題的關(guān)鍵．