Question

7．如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，矩形DEFG的四個頂點都在△ABC的邊上，已知：AC=8，BC=6．
（1）當(dāng)四邊形DEFG為正方形時，求EF的長；
（2）△BEF與△FCG能全等嗎？若能，請你求出EF的長；若不能，請說明理由；
（3）△BEF與△ADG能全等嗎？若能，請你求出EF的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先由面積求出CH，再證明△GFC∽△ABC，得出比例式，由GF=DG求出DG的長；
（2）由△ADG≌△GCF時，DG=CF，AD=CG，AG=GF，再由△FEB∽△ACB得出比例式求出DG的長；
（3）由題意推出不成立．

解答 解：（1）過C作CH⊥AB于H，交GF于M，如圖所示：
設(shè)DG=x，
∵四邊形DEFG為正方形，
∴GF=DG=x，
∵∠C=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：
AB=$\sqrt{{6}^{2}{+8}^{2}}$=10，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CH=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$，
∵GF∥DE，∴△GFC∽△ABC，
∴$\frac{CM}{CH}$=$\frac{GF}{AB}$，即$\frac{\frac{24}{5}-x}{\frac{24}{5}}$=$\frac{x}{10}$，
解得 x=$\frac{120}{37}$，即DG=$\frac{120}{37}$；

（2）能；當(dāng)△BEF≌△GCF時，EF=CG，BE=CF，BF=GF，設(shè)EF=CG=y，
則AG=8-y；
∵∠ADG=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADG∽△ACB中，
∴$\frac{DG}{AG}$=$\frac{BC}{AB}$，∴$\frac{y}{8-y}$=$\frac{3}{5}$，
解得 y=3，
即EF=3；

（3）不能，
∵DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，∠A=∠BFE，∠AGD=∠FBE
雖有四組條件，但不對應(yīng)，要使△ADG與△BEF全等，
須使AD=EF，則AD=DG，即須使∠A=45°，
由AC=4，BC=3知，∠A不可能等于45°，
∴△ADG與△BEF不可能全等．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定；證明三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．