Question

數(shù)學(xué)活動小組接受學(xué)校的一項任務(wù)：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為60米的木柵欄圍成一塊生物園地，請設(shè)計一個方案使生物園的面積盡可能大．
（1）活動小組提交如圖①的方案．設(shè)靠墻的一邊長為 x 米，請你幫活動小組求出當(dāng)x為何值時，生物園的面積最大？并算出最大面積；
（2）機靈的小文想：如果改變生物園的形狀，圍成的面積會更大嗎？請你幫小文設(shè)計一個方案，使圍成的面積更大；要求畫出圖形，算出面積大�。�

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）首先表示出矩形的長，進而利用二次函數(shù)最值求法求出即可；
（2）利用當(dāng)生物園的形狀為半圓形時，面積更大，此時：弧長=πr=60，半徑 r=

60

π

，再利用S=

1

2

πr²進而求出即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得出：
S=x（60-2x）=-2（x-15）²+450，
∵a=-2＜0，S有最大值，
∴當(dāng)x=15時，S_最大=450，
∴當(dāng)x為15米時生物園的面積最大，是450平方米；

（2）答案不唯一
例如：當(dāng)生物園的形狀為半圓形時，面積更大．
此時：弧長=πr=60，半徑 r=

60

π

，
∴S=

1

2

πr²=

1

2

π•

3600

π2

=

1800

π

＞

1800

4

，
（或≈573.25（m²）＞450（m²）），
∴當(dāng)生物園的形狀為半圓形時，面積約為

1800

π

（或573.25 ）平方米．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及最值求法，利用割圓術(shù)的思想，當(dāng)周長一定時，圓的面積最大來設(shè)計方案．