Question

4．如圖⊙O中，半徑OD⊥弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點E，連結(jié)EC，若AB=8，CD=10，則EC的長度為（　�。�

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 8
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． 2$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 連結(jié)BE，設(shè)⊙O的半徑為R，由OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得AC=BC=$\frac{1}{2}$AB，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，根據(jù)勾股定理得到（R-2）²+4²=R²，解得R=5，則OC=3，由于OC為△ABE的中位線，則BE=2OC=6，再根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可計算出CE的長．

解答 解：連結(jié)BE，設(shè)⊙O的半徑為R，如圖，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-10，
∵OC²+AC²=OA²，
∴（R-10）²+4²=R²，解得R=5，
∴OC=5-2=3，
∴BE=2OC=6，
∵AE為直徑，
∴∠ABE=90°，
在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
故選D．

點評 本題考查了垂徑定理、勾股定理、圓周角定理的運用，熟記和圓有關(guān)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．