Question

如圖，將圓C放置在直角坐標(biāo)系中，圓C經(jīng)過原點O以及點A（2，0），點B（0，2

3

）． 
（1）求圓心的坐標(biāo)以及圓C的半徑； 
（2）設(shè)弧OB的中點為D，請求出同時經(jīng)過O，A，D三個點的拋物線解析式．
并判斷該拋物線的頂點是否在圓C上，說明理由；
（3）若（2）中的拋物線上存在點P（m，n），滿足∠APB為鈍角，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）作CN⊥OA，利用勾股定理可求出直徑AB的長，進而可得圓的半徑，再根據(jù)垂徑定理求出ON，CN的長即可得到C的坐標(biāo)；
（2）連接CD交OB于點M（如圖所示），由垂徑定理逆定理得CD⊥OB于點M，設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx，將D（-1，

3

），A（2，0）代入求出a和b的值即可求出拋物線的解析式，進而可得到拋物線的頂點是否在圓C上；
（3）因為AB為直徑，所以當(dāng)拋物線上的點P在⊙C的內(nèi)部時，滿足∠APB為鈍角，根據(jù)圓的軸對稱性可知：-1＜m＜0，或2＜m＜3．

解答：解：（1）由∠AOB為直角，可知AB為圓直徑，
由勾股定理得AB=

OA2+OB2

=4，
即圓O的半徑等于2，
作CN⊥OA，
由垂徑定理可知N是OA中點，
所以CN=

1

2

OB=

3

，ON=1，
即點C的坐標(biāo)是（1，

3

），
（2）連接CD交OB于點M（如圖所示），
由垂徑定理逆定理得CD⊥OB于點M，
∴CM=

1

2

OA=1，
∴MD=1，
∴點D的坐標(biāo)為（-1，

3

）
由于所求拋物線經(jīng)過原點O，故設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx，
將D（-1，

3

），A（2，0）代入上式得：

3 =a-b 0=4a+2b

，
解得

a= 3 3 b=- 2 3 3

．
∴拋物線解析式為：y=

3

3

x2-

2 3

3

x，
可求得它的頂點為（1，-

3

3

），
該點到圓心C的距離是

3

+

3

3

=

4 3

3

＞2，
所以頂點不在圓C上；
（3）因為AB為直徑，所以當(dāng)拋物線上的點P在⊙C的內(nèi)部時，滿足∠APB為鈍角，根據(jù)圓的軸對稱性可知：-1＜m＜0，或2＜m＜3．

點評：此題考查了圓與二次函數(shù)的綜合知識，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，考查了圓的性質(zhì)，考查了二次函數(shù)的對稱性等，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．