Question

8．如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且AE=DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．
（1）若AB=6，DF=2，求BE的長；
（2）求證：CG=DG+BG．

Answer 1

分析 （1）由菱形的四邊相等得：AD=AB=6，計(jì)算出AE的長，再求BE的長即可；
（2）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AED≌△DFB和△CDG≌△CBM，再△CGM是等邊三角形，可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=6，
∵DF=2，AE=DF，
∴AE=2，
∴BE=AB-AE=6-2=4；
（2）延長FB到點(diǎn)M，使BM=DG，連接CM．
∵AB=BD，AB=AD
∴△ABD為等邊三角形
∴∠A=∠BDF=60°．
∵CD∥AB
∴∠ADC=180°-∠A=120°
同理得：∠ABC=120°
在△AED和△DFB中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠A=∠BDF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFB（SAS）；
∴∠ADE=∠DBF，∠AED=∠DFB
∵AD∥BC，DC∥AB
∴∠DFB=∠CBM，∠AED=∠CDG
∴∠AED=∠CBM=∠CDG
∴∠CBM=∠CDG，
∵△DBC是等邊三角形，
∴CD=CB，
在△CDG和△CBM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDG=∠CBM}\\{DG=BM}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CBM（SAS），
∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等邊三角形，
∴CG=GM=BG+BM=BG+DG．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)；本題充分利用了等邊三角形的三條邊相等和三個(gè)內(nèi)角都是60°的性質(zhì)．