Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D是邊BC的中點(diǎn)，E是射線BA上一動點(diǎn)，直線DE交射線CA于F點(diǎn)．
（1）當(dāng)DF=DC時，求AF的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)E位于線段AB上時（與B、A不重合），設(shè)BE=x，AF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當(dāng)△AEF為以FA腰的等腰三角形時，求x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）易證△ABC∽△DFC，根據(jù)

AC

DC

=

BC

CF

即可解題；
（2）易證△AFE∽△MDE，根據(jù)

AF

DM

=

AE

ME

可求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）分別求E位于線段AB上和BA的延長線上時x的值，即可解題．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DF=DC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠F，
∴△ABC∽△DFC，
∴

AC

DC

=

BC

CF

，
∴

10

8

=

16

CF

，
∴CF=12.8，
∴AF=2.8； 
（2）取AB的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)DM．

∵D是邊BC的中點(diǎn)，
∴DM∥AC，DM=

1

2

AC=5，
∴△AFE∽△MDE，
∴

AF

DM

=

AE

ME

，
∴

y

5

=

10-x

x-5

，
∴y=

5(10-x)

x-5

，
函數(shù)定義域?yàn)?＜x＜10；
（3）當(dāng)點(diǎn)E位于線段AB上時，

①若AF=AE 即

5(10-x)

x-5

=10-x，
解得x=10 舍去，
②若AF=EFcos∠FAE=

7

25

，
5×

7

25

=

1

2

•（x-5）
x=

39

5

，
當(dāng)點(diǎn)E位于線段BA延長線上時，此時y=

5(x-10)

x-5

，

①若AF=AE  即

5(x-10)

x-5

=x-10，
解得x=10舍去，
②若AF=EFcos∠FAE=

7

25

，

7

25

y=

1

2

（x-10）
解得x=

39

5

舍去．
綜上所述，當(dāng)△AEF為以FA腰的等腰三角形時，x=

39

5

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)．