Question

12．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上（點(diǎn)D與點(diǎn)A，C不重合），且∠DEC=∠A，將△DCE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DC′E′．當(dāng)△DC′E′的斜邊、直角邊與AB分別相交于點(diǎn)P，Q（點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合）時(shí)，設(shè)CD=x，PQ=y．
（1）求證：∠ADP=∠DEC；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等角的余角相等即可證明；
（2）分兩種情形①如圖1中，當(dāng)C′E′與AB相交于Q時(shí)，即$\frac{6}{5}$＜x≤$\frac{12}{7}$時(shí)，過(guò)P作MN∥DC′，設(shè)∠B=α．②當(dāng)DC′交AB于Q時(shí)，即$\frac{12}{7}$＜x＜3時(shí)，如圖2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，則四邊形PMDN是矩形，分別求解即可；

解答 （1）證明：如圖1中，

∵∠EDE′=∠C=90°，
∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠ADP=∠DEC．

（2）解：如圖1中，當(dāng)C′E′與AB相交于Q時(shí)，即$\frac{6}{5}$＜x≤$\frac{12}{7}$時(shí)，過(guò)P作MN∥DC′，設(shè)∠B=α
∴MN⊥AC，四邊形DC′MN是矩形，
∴PM=PQ•cosα=$\frac{4}{5}$y，PN=$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{2}$（3-x），
∴$\frac{2}{3}$（3-x）+$\frac{4}{5}$y=x，
∴y=$\frac{25}{12}$x-$\frac{5}{2}$，
當(dāng)DC′交AB于Q時(shí)，即$\frac{12}{7}$＜x＜3時(shí)，如圖2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，則四邊形PMDN是矩形，

∴PN=DM，
∵DM=$\frac{1}{2}$（3-x），PN=PQ•sinα=$\frac{3}{5}$y，
∴$\frac{1}{2}$（3-x）=$\frac{3}{5}$y，
∴y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{5}{2}$．
綜上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{6}x+\frac{5}{2}}&{（\frac{12}{7}＜x＜3）}\\{\frac{25}{12}x-\frac{5}{2}}&{（\frac{6}{5}＜x≤\frac{12}{7}）}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．