Question

12．如圖：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D．
（1）求證：CD=CB；
（2）如果⊙O的半徑為$\sqrt{2}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）首先連接OB，則∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，由∠AOC=150°，易得△OBC是等邊三角形，又由過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，易求得∠CBD=∠D=75°，繼而證得結(jié)論；
（2）由（1）可得△AOB是等腰直角三角形，又由⊙O的半徑為$\sqrt{2}$，即可求得答案．

解答 （1）證明：連接OB，則∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=OBA=45°，
∵∠AOC=150°，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=15°，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠BOC=∠OBC=60°，
∴∠CBD=180°-∠OBA-∠OBC=75°，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∴∠D=360°-∠OBD-∠BOC-∠OCD=360°-（60°+75°）-60°-90°=75°，
∴∠CBD=∠D，
∴CB=CD；

（2）解：∵∠AOB=2∠ACB=90°，OA=OB=$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2．

點(diǎn)評 此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．